Como você encontra a antiderivada de dx / (cos (x) - 1)?

Responda:

Faça alguma multiplicação conjugada, aplique alguns trigonometria e termine para obter um resultado de # int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Explicação:

Como com a maioria dos problemas deste tipo, vamos resolvê-lo usando um truque de multiplicação conjugada. Sempre que você tem algo dividido por algo mais / menos algo (como em # 1 / (cosx-1) #), é sempre útil tentar a multiplicação do conjugado, especialmente com funções trigonométricas.

Vamos começar multiplicando # 1 / (cosx-1) # pelo conjugado de # cosx-1 #, qual é # cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Você pode se perguntar por que fazemos isso. É assim que podemos aplicar a diferença da propriedade de quadrados, # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, no denominador, para simplificá-lo um pouco. De volta ao problema:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (branco) (III) acolor (branco) (XXX) bcolor (branco) (XXX) acolor (branco) (XXX) b #

Observe como isso é essencialmente # (a-b) (a + b) #.

# = (cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Agora, e sobre # cos ^ 2x-1 #? Bem, nós sabemos # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Vamos multiplicar isso por #-1# e veja o que temos:

# -1 (sen ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = cos ^ 2-1 #

Acontece que # -sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #então vamos substituir # cos ^ 2x-1 #:

# (cosx + 1) / (- sin ^ 2x #

Isso é equivalente a # cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #que, usando alguns trigonos, se resume a #cotxcscx-csc ^ 2x #.

Neste ponto, simplificamos para integral # int1 / (cosx-1) dx # para # int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Usando a regra da soma, isso se torna:

# int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

O primeiro deles é # cscx # (porque a derivada de # cscx # é #cotxcscx #) e o segundo é # cotx # (porque a derivada de # cotx # é # -csc ^ 2x #). Adicione a constante da integração # C # e você tem sua solução:

# int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Suponha que você esteja iniciando um serviço de limpeza de escritório. Você gastou $ 315 em equipamentos. Para limpar um escritório, você usa US $ 4 em suprimentos. Você cobra US $ 25 por escritório. Quantos escritórios você deve limpar para empatar?

Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = 15 Custo do equipamento = $ 315 Custo dos suprimentos = $ 4 Custo por escritório = $ 25 Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = x Então - 25x-4x = 315 21x = 315 x = 315/21 = 15 Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = 15

O custo das canetas varia diretamente com o número de canetas. Uma caneta custa US $ 2,00. Como você encontra k na equação para o custo das canetas, use C = kp e como você encontra o custo total de 12 canetas?

O custo total de 12 canetas é de US $ 24. C prop p:. C = k * p; C = 2,00, p = 1:. 2 = k * 1:. k = 2:. C = 2p {k é constante] p = 12, C =? C = 2 * p = 2 * 12 = $ 24,00 O custo total de 12 canetas é de $ 24,00. [Ans]

Como você encontra a antiderivada de cos ^ 4 (x) dx?

Você quer dividi-lo usando identidades trigonométricas para obter integrais fáceis e agradáveis. cos ^ 4 (x) = cos ^ 2 (x) * cos ^ 2 (x) Podemos lidar facilmente com os cos ^ 2 (x) rearranjando a fórmula cosseno de duplo ângulo. cos ^ 4 (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + cos ^ 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x))) cos ^ 4 (x) = 3/8 + 1/2 * cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Então, int cos ^ 4 (x) dx = 3/8 * int dx + 1/2 * int cos (2x) dx + 1/8 * int cos (4x ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sen (2x) + 1/32 * sen (4x) + C