Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {2 ^ -n} converge de n = 1 para infinito?

$Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {2 ^ -n} converge de n = 1 para infinito?$

Responda:

Use as propriedades da função exponencial para determinar N como # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # para cada # m, n> N #

Explicação:

A definição de convergência afirma que o #{a}# converge se:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Então, dado #epsilon> 0 # leva #N> log_2 (1 / epsilon) # e # m, n> N # com #m <n #

Como #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # assim # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Agora como # 2 ^ x # é sempre positivo # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, assim

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

E como # 2 ^ (- x) # está diminuindo estritamente e #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Mas:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = épsilon #

Assim:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.

O primeiro e o segundo termos de uma sequência geométrica são respectivamente o primeiro e o terceiro termos de uma sequência linear. O quarto termo da sequência linear é 10 e a soma dos seus cinco primeiros termos é 60 Encontre os primeiros cinco termos da sequência linear?

{16, 14, 12, 10, 8} Uma sequência geométrica típica pode ser representada como c_0a, c_0a ^ 2, cdots, c_0a ^ k e uma sequência aritmética típica como c_0a, c_0a + Delta, c_0a + 2Delta, cdots, c_0a + kDelta Chamando c_0 a como o primeiro elemento para a sequência geométrica que temos {(c_0 a ^ 2 = c_0a + 2Delta -> "Primeiro e segundo de GS são o primeiro e o terceiro de um LS"), (c_0a + 3Delta = 10- > "O quarto termo da seqüência linear é 10"), (5c_0a + 10Delta = 60 -> "A soma do seu primeiro cinco termo é 60"):} Resolven

Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {5+ (1 / n)} converge de n = 1 para infinito?

Seja: a_n = 5 + 1 / n então para qualquer m, n em NN com n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m-5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) como n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n e como 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dado qualquer número real epsilon> 0, escolha um inteiro N> 1 / epsilon. Para quaisquer inteiros m, n> N temos: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon que comprova a condição de Cauchy para a convergência de uma sequência.

Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 converge?

Dado qualquer número épsilon> 0, escolha M> 1 / sqrt (6epsilon), com M em NN. Então, para n> = M temos: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon e então: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon que comprova o limite.