O que é um autovetor? + Exemplo

Responda:

Se vector # v # e transformação linear de um espaço vetorial #UMA# são tais que #A (v) = k * v # (onde constante #k # é chamado autovalor), # v # é chamado de autovetor de transformação linear #UMA#.

Explicação:

Imagine uma transformação linear #UMA# de esticar todos os vetores por um fator de #2# no espaço tridimensional. Qualquer vetor # v # seria transformado em # 2v #. Portanto, para esta transformação todos os vetores são autovetores com autovalor do #2#.

Considere uma rotação de um espaço tridimensional em torno do eixo Z por um ângulo de # 90 ^ o #. Obviamente, todos os vetores, exceto aqueles ao longo do eixo Z, mudarão a direção e, portanto, não autovetores. Mas esses vetores ao longo do eixo Z (suas coordenadas são da forma # 0,0, z #) manterão sua direção e comprimento, portanto são autovetores com autovalor do #1#.

Finalmente, considere uma rotação por # 180 ^ o # em um espaço tridimensional em torno do eixo Z. Como antes, todos os vetores longos do eixo Z não irão mudar, então eles são autovetores com autovalor do #1#.

Além disso, todos os vetores no plano XY (suas coordenadas são da forma # x, y, 0 #) mudará a direção para o oposto, mantendo o comprimento. Portanto, eles também são autovetores com autovalores do #-1#.

Qualquer transformação linear de um espaço vetorial pode ser expressa como multiplicação de um vetor por uma matriz. Por exemplo, o primeiro exemplo de alongamento é descrito como multiplicação por uma matriz #UMA#

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Tal matriz, multiplicada por qualquer vetor # v = {x, y, z} # vai produzir # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Isto é obviamente igual a # 2 * v #. Então nós temos

# A * v = 2 * v #, o que prova que qualquer vetor # v # é um autovetor com um autovalor #2#.

O segundo exemplo (rotação por # 90 ^ o # em torno do eixo Z) pode ser descrito como multiplicação por uma matriz #UMA#

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Tal matriz, multiplicada por qualquer vetor # v = {x, y, z} # vai produzir # A * v = {- y, x, z} #, que pode ter a mesma direção do vetor original # v = {x, y, z} # somente se # x = y = 0 #, isto é, se o vetor original é direcionado ao longo do eixo Z.