Por favor ajude. Não tenho certeza de como fazer isso rapidamente sem multiplicar tudo?

Responda:

A resposta para (Eu) é #240#.

A resposta para ii) é #200#.

Explicação:

Podemos fazer isso usando o Triângulo de Pascal, mostrado abaixo.

(Eu)

Como o expoente é #6#, precisamos usar a sexta linha no triângulo, que inclui #color (roxo) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # e #color (roxo) 1 #. Basicamente, vamos usar #color (azul) 1 # como o primeiro termo e #color (vermelho) (2x) # como o segundo. Então, podemos criar a seguinte equação. O expoente do primeiro termo aumenta #1# cada vez e o expoente do segundo termo diminui de #1# com cada termo do triângulo.

# (cor (roxo) 1 * cor (azul) (1 ^ 0) * cor (vermelho) ((2x) ^ 6)) + (cor (roxo) 6 * cor (azul) (1 ^ 1) * cor (vermelho) ((2x) ^ 5)) + (cor (roxo) 15 * cor (azul) (1 ^ 2) * cor (vermelho) ((2x) ^ 4)) + (cor (roxo) 20 * cor (azul) (1 ^ 3) * cor (vermelho) ((2x) ^ 3)) + (cor (roxo) 15 * cor (azul) (1 ^ 4) * cor (vermelho) ((2x) ^ 2)) + (cor (roxo) 6 * cor (azul) (1 ^ 5) * cor (vermelho) ((2x) ^ 1)) + (cor (roxo) 1 * cor (azul) (1 ^ 6) * cor (vermelho) ((2x) ^ 0)) #

Então, podemos simplificá-lo.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Portanto, o coeficiente de # x ^ 4 # é #240#.

ii)

Nós já sabemos a expansão de # (1 + 2x) ^ 6 #. Agora podemos multiplicar as duas expressões juntas.

#color (marrom) (1-x (1/4)) * cor (laranja) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

O coeficiente do # x # em # 1-x (1/4) # é #1#. Então, sabemos que aumentará os valores dos expoentes na outra expressão por #1#. Porque precisamos do coeficiente de # x ^ 4 #, só precisamos multiplicar # 160x ^ 3 # por # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Agora, precisamos adicioná-lo # 240x ^ 4 #. Esta é uma parte da solução de # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, devido à multiplicação por #1#. É significativo porque também tem um expoente de #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Portanto, o coeficiente é #200#.

Responda:

Eu. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Explicação:

A expansão binomial para # (a + bx) ^ c # pode ser representado como:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Para a parte 1, precisamos apenas quando # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Para a parte 2, também precisamos do # x ^ 3 # prazo por causa da # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #