Quais são todos os valores para k para os quais int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

e

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # mas

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # e

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # assim

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

ou

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

então finalmente

valores reais #k = {-2,2} #

valores complexos #k = {1pm i sqrt3pm pm sqrt3} #

Responda:

# k = + - 2 #

Explicação:

Nós exigimos:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrando temos:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 cor (branco) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Assumindo que #k em RR # (na verdade existem #6# raizes #4# dos quais são complexos)

Agora, dependendo do contexto do problema, pode-se argumentar que #k <2 # (ie # k = -2 #) é inválido como #k> = 2 # para tornar o interno "adequado", excluindo assim essa solução, mas sem qualquer contexto é razoável incluir ambas as soluções.

Além disso, observe que #k = + - 2 # poderia ser mostrado para ser soluções sem realmente realizar qualquer integração.

Em primeiro lugar, uma propriedade de integrais definidas é que:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

para que possamos estabelecer imediatamente # k = 2 # é uma solução.

Em segundo lugar, # x ^ 5 # é um ímpar função e funções ímpares satisfazem:

# f (-x) = f (x) #

e ter simetria rotacional sobre a origem. como tal, se #f (x) # é estranho então:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

para que possamos estabelecer imediatamente # k = -2 # é uma solução.

A integração e os cálculos subsequentes, no entanto, provam que estas são as únicas soluções!