O que é lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sen (1 / x)) / x ^ 2?

Responda:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Explicação:

Deixei # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# lny = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# lny = ln ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# lny = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sen (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# e ^ lny = e ^ oo #

# y = oo #

Responda:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Por favor, veja a seção de explicação abaixo.

Explicação:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Observe que: # (e ^ (2x) sen (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sen (1 / x) / (1 / x) #

Agora, como # xrarroo #, o primeiro rácio aumenta sem limite, enquanto o segundo vai para #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sen (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) #

# = oo #

Explicação Adicional

Aqui está o raciocínio que levou à solução acima.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # tem forma inicial # (oo * 0) / oo #.

Esta é uma forma indeterminada, mas não podemos aplicar a Regra do Hospital a esta forma.

Nós poderíamos reescrevê-lo como # (e ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # para obter o formulário # oo / oo # para o qual poderíamos aplicar l'Hospital. No entanto, eu particularmente não quero tomar a derivada desse denominador.

Lembre-se de que #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

De modo a #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

Isso é o que motiva a reescrita usada acima.

# (e ^ (2x) sen (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sen (1 / x) / (1 / x) #.

Como # x # aumenta sem limite, # e ^ x # vai ao infinito muito mais rápido que # x ^ 3 # (mais rápido que qualquer poder de # x #).

Assim, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # explode ainda mais rápido.

Se você não tiver esse fato disponível, use a regra do Hospital para obter

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #