Qual é o intervalo da função f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Responda:

O intervalo é 1, # oo #)

Explicação:

Ao analisar esse problema pela primeira vez, eu me concentraria no domínio. Ter x sob uma raiz quadrada geralmente resulta em um domínio limitado. Isso é importante porque, se os pontos não existirem no domínio, precisamos nos certificar de que não os incluiremos no intervalo também!

O domínio para #f (x) # é (-# oo #, -#sqrt (1/2) #)# uu #(#sqrt (1/2) #, # oo #), Como # 2x ^ 2 -1 # não pode ser inferior a #0# ou o número resultante será imaginário.

Agora, precisamos examinar o comportamento final para ver para onde a função está indo # oo # e -# oo # para # x #. Ao observar o comportamento final, podemos ignorar detalhes menores que não afetam a forma geral da função. Ao descrever o comportamento final, a função #g (x) # é normalmente usado.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

E 'conecte' infinito negativo e positivo

g (-# oo #) = # 5 ^ | -oo | #

g (#ooo) = # oo #

g (# oo #) = # 5 ^ | oo | #

g (# oo #) = # oo #

#f (x) # dirige-se para o infinito positivo de qualquer maneira

Agora, precisamos encontrar o mínimo que a função é. Tenha em mente que #f (x) # não é contínuo como demonstramos em seu domínio limitado.

Desde a #f (x) # é uma função par (simétrica no eixo y) e # y # aumenta conforme a magnitude da # x # faz, o mínimo # y # valor será encontrado onde # x # está mais próximo de 0. No nosso caso, será -#sqrt (1/2) # ou #sqrt (1/2) # devido ao domínio limitado. Vamos ligar #sqrt (1/2) # para encontrar o mínimo.

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Então, o intervalo será 1, # oo #)

Responda:

1, infinito positivo)

Explicação:

Ao representar graficamente esta função (eu recomendo Desmos se você não tem gráfico) você pode ver a parte mais baixa da função toca 1 no eixo y, e continua positivamente ao infinito. Uma maneira fácil de encontrar isso sem um gráfico é ver se você tem alguma restrição na equação. Como não há raízes quadradas de números negativos, sabemos que, se definirmos o expoente como 0, poderemos encontrar o menor valor x possível.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

# x = sqrt (1/2) #

Agora que temos a restrição de Domínio, podemos usar isso para a equação original

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Agora, determinamos que o valor y mais baixo possível é 1, e não há restrição quanto à possibilidade de atingir os valores y elevados. Portanto, o intervalo é de 1 (inclusive) positivo até o infinito positivo.