Seja N o menor inteiro com 378 divisores. Se N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, qual é o valor de {a, b, c, d} em NN?

Responda:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Explicação:

Dado um número # n # com fatoração primária #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, cada divisor de # n # é da forma # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # Onde #beta_i em {0, 1, …, alfa_i} #. Como existem # alpha_i + 1 # escolhas para cada # beta_i #, o número de divisores de # n # É dado por

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alfa_i + 1) #

Como # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, o número de divisores de # N # É dado por # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Assim, nosso objetivo é encontrar # (a, b, c, d) # tal que o produto acima detenha e # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # é mínimo. Como estamos minimizando, vamos supor a partir deste ponto em diante que #a> = b> = c> = d # (se este não fosse o caso, poderíamos trocar expoentes para obter um resultado menor com o mesmo número de divisores).

Notar que # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, podemos considerar os possíveis casos em que #378# é escrito como um produto de quatro inteiros # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Podemos inspecionar estes para ver qual produz o menor resultado para # N #.

Formato: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (vermelho) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Podemos parar aqui, como qualquer outro caso terá algum #k_i> = 27 #dando # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, que já é maior que o nosso melhor caso.

Pelo trabalho acima, então, o # (a, b, c, d) # que produz um mínimo # N # com #378# divisores é # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #dando #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #