Se uma pedra cair a uma altitude de 174,9 m de um helicóptero ascendente com uma velocidade de 20,68 m / s, quanto tempo demorará a pedra a atingir o solo?

Responda:

8,45 segundos.

Explicação:

A direção de 'g' quando se fala de aceleração depende do sistema de coordenadas que definimos. Por exemplo, se você fosse definir para baixo como o positivo 'y', então g seria positivo. Convenção é levar para cima como positivo para g será negativo. É isso que vamos usar, também tomamos o terreno como #y = 0 #

#color (vermelho) ("EDIT:") # Eu adicionei uma abordagem usando as equações cinemáticas que você aprende cedo na parte inferior. Tudo o que eu fiz aqui é derivar estes usando cálculos, mas eu aprecio que você pode não ter coberto isso.Role para baixo até o título vermelho para a abordagem sem cálculo.

Podemos olhar isso muito mais de perto, começando do zero com a segunda lei de Newton. Quando a pedra é derrubada, ela tem uma velocidade inicial, mas a única força atuando nela é devido à gravidade. Nós definimos para cima como a direção y positiva, então pela segunda lei de Newton, podemos escrever

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Isso ocorre porque a pedra irá acelerar em direção à Terra, que definimos como direção negativa.

Integrar essa expressão fornece:

# (dy) / (dt) = -g t + c #

# (d) / (dt) = y '(t) # é a velocidade da pedra, então quando aplicamos a velocidade inicial em #y '(0) = + 20,68 # nós chegamos a

# 20.68 = g * 0 + c #

#implies C = 20,68 #

# (d) / (dt) = 20,68 - g t #

Isso modela a velocidade e faz sentido se você pensar sobre isso. Quando é liberado, ele terá a mesma velocidade que o helicóptero e, portanto, moverá para cima por um tempo, mas com o passar do tempo ele irá parar e então começará a cair.

Para encontrar o deslocamento, nos integramos novamente:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Aplicar condição inicial #y (0) = 174,9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174,9 #

#tentanto y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Para resolver o tempo para chegar ao solo, defina # y = 0 # e resolver o quadrático:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Este é definitivamente um trabalho para a fórmula quadrática:

#t = (20.68 + -sqrt (20.68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174.9))) / g #

Levando #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 ou -4,23 #

Nós descartamos a solução negativa, portanto a pedra leva 8,45 segundos para atingir o chão.

#color (vermelho) ("Sem abordagem de cálculo") #

Nós sabemos isso #v = v_0 + em # Onde # v # é a velocidade final # v_0 # é a velocidade inicial, #uma# é aceleração e # t # é o tempo que é aplicado.

Como eu disse anteriormente, com um sistema de coordenadas para cima # g # será negativo, mas a pedra inicialmente se moverá para cima por causa de sua velocidade inicial. Queremos encontrar o ponto em que ele para de subir:

Conjunto #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Agora usa

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # novamente com #a = -g #

assim #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21.8m #

Isso significa que a pedra pára momentaneamente #y = 174.9 + 21.8 #

#y = 196.7m #

Agora não temos nenhuma velocidade inicial incômoda para enfrentar, apenas uma queda direta desta altura:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Como para cima é positivo, a queda resultará em um deslocamento negativo de modo

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8,45 # como requerido.

Responda:

8,45s

Explicação:

O helicóptero está oscilando com uma velocidade # u = 20.68m / s # Assim, a pedra lançada a partir dela terá a mesma velocidade inicial que a velocidade ascendente do helicóptero, mas a força gravitacional para baixo proporcionará uma aceleração para baixo (g).

Considerando o ponto de deixar cair a pedra de helicóptero como origem nós procedemos como segue

E se para cima velocidade inicial ser tomada positivo então aceleração para baixo (g) deve ser tomado como negativo e deslocamento do downard (h) também deve ser considerado negativo.

#color (vermelho) ("Aqui para cima + ve e para baixo -ve") #

Agora cálculo do tempo (t) de atingir o solo

Então nós temos

# u = + 20,68m / s #

# g = -9.8m / s ^ 2 #

# h = -174.9m #

#t =? #

Inserindo estes em equação de movimento sob gravidade (compreendendo as variáveis h, u, g, t) Nós temos

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => t = (20.68 + sqrt ((- 20.68) ^ 2-4 * 4.9 * (- - 174.9)) / (2 * 4.9) #

#:. t = 8.45s #

A mesma equação (1) será obtida se invertermos a direção#color (vermelho) ("i.e.upward - ive and downward + ive.") #