Ok, em primeiro lugar, você tem # x-1 #, # x + 1 #e # x ^ 2-1 # como o denominador em sua pergunta. Assim, vou tomá-lo como a questão pressupõe implicitamente que #x! = 1 ou -1 #. Isso é realmente muito importante.
Vamos combinar a fração à direita em uma única fração, # x / (x-1) + 4 / (x + 1) = (x (x + 1)) / ((x-1) (x + 1)) + (4 (x-1)) / ((x-1) (x + 1)) = (x ^ 2 + x + 4x - 4) / (x ^ 2-1) = (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) #
Aqui, note que # (x-1) (x + 1) = x ^ 2 - 1 # da diferença de dois quadrados.
Nós temos:
# (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) = (4x-2) / (x ^ 2-1) #
Cancele o denominador (multiplique ambos os lados por # x ^ 2-1 #), # x ^ 2 + 5x -4 = 4x-2 #
Por favor note que este passo só é possível devido ao nosso pressuposto no início. Cancelando # (x ^ 2-1) / (x ^ 2-1) = 1 # é válido apenas para # x ^ 2-1! = 0 #.
# x ^ 2 + x -2 = 0 #
Podemos fatorar essa equação quadrática:
# x ^ 2 + x - 2 = (x - 1) (x + 2) = 0 #
E assim, #x = 1 #ou #x = -2 #.
Mas ainda não terminamos. Esta é a solução para o Equação quadrática, mas não a equação na questão.
Nesse caso, #x = 1 # é um solução estranha, que é uma solução extra que é gerada pela maneira como resolvemos nosso problema, mas não é uma solução real.
Então, nós rejeitamos #x = 1 #, da nossa suposição anterior.
Assim sendo, #x = -2 #.
