Qual é a equação da linha tangente a f (x) = y = e ^ x sen ^ 2x em x = sqrtpi?

Responda:

A equação é aproximadamente:

#y = 3,34 x 0,27 #

Explicação:

Para começar, precisamos determinar #f '(x) #, para que saibamos qual a inclinação do #f (x) # é a qualquer momento, # x #.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sen ^ 2 (x) #

usando a regra do produto:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sen ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sen ^ 2 (x)) #

Estes são derivados padrão:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Então nossa derivada se torna:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sen (x) + 2cos (x)) #

Inserindo o dado # x # valor, a inclinação em #sqrt (pi) # é:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sen (sqrt (pi)) (sen (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Esta é a inclinação da nossa linha no ponto # x = sqrt (pi) #. Podemos então determinar a interceptação y configurando:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Isso nos dá a equação não simplificada para nossa linha:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sen (sqrt (pi)) (sen (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sen ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sen (sqrt (pi)) (sen (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Resolvendo para b, acabamos com a fórmula irritantemente complicada:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sen (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Então nossa linha acaba sendo:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sen (sqrt (pi)) (sen (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sen (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Se realmente calcularmos o que esses coeficientes irritantemente grandes equivalem, acabamos com a linha aproximada:

#y = 3,34 x 0,27 #