Para f (x) = xsin ^ 3 (x / 3) qual é a equação da linha tangente em x = pi?

Responda:

# y = 1,8276x-3,7 #

Explicação:

Você tem que encontrar o derivado:

#f '(x) = (x)' sin ^ 3 (x / 3) + x * (sen ^ 3 (x / 3)) '#

Neste caso, a derivada da função trigonométrica é na verdade uma combinação de 3 funções elementares. Esses são:

# sinx #

# x ^ n #

# c * x #

A maneira como isso será resolvido é a seguinte:

# (sin ^ 3 (x / 3)) '= 3sin ^ 2 (x / 3) * (sin (x / 3))' = #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) (x / 3) '= #

# = 3sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) * 1/3 = #

# = sin ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

Assim sendo:

#f '(x) = 1 * sen ^ 3 (x / 3) + x * sen ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 3 (x / 3) + x * sen ^ 2 (x / 3) * cos (x / 3) #

#f '(x) = sin ^ 2 (x / 3) * (sen (x / 3) + xcos (x / 3)) #

A derivação da equação tangente:

#f '(x_0) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

#f '(x_0) * (x-x_0) = y-f (x_0) #

# y = f '(x_0) * x-f' (x_0) * x_0 + f (x_0) #

Substituindo os seguintes valores:

# x_0 = π #

#f (x_0) = f (π) = π * sen ^ 3 (π / 3) = 2.0405 #

#f '(x_0) = f' (π) = sen ^ 2 (π / 3) * (sen (π / 3) + πcos (π / 3)) = 1,8276 #

Portanto, a equação se torna:

# y = 1,8276x-1,8276 * π + 2,0405 #

# y = 1,8276x-3,7 #

No gráfico abaixo você pode ver que em # x = π = 3,14 # a tangente é de fato aumentando e vai cruzar o eixo yyy em #y <0 #

gráfico {x (sin (x / 3)) ^ 3 -1,53, 9,57, -0,373, 5,166}