Dos 7 bilhetes de lotaria, 3 são bilhetes premiados. Se alguém compra 4 bilhetes, qual é a probabilidade de ganhar pelo menos dois prêmios?

Responda:

# P = 22/35 #

Explicação:

Então nós temos #3# vencendo e #4# bilhetes não premiados entre #7# ingressos disponíveis.

Vamos separar o problema em quatro casos independentes mutuamente exclusivos:

(a) existem #0# bilhetes premiados entre aqueles #4# comprou

(então, tudo #4# bilhetes comprados são de uma piscina de #4# bilhetes não premiados)

(b) existe #1# bilhete premiado entre aqueles #4# comprou

(assim, #3# bilhetes comprados são de uma piscina de #4# bilhetes não premiados e #1# bilhete é de uma piscina de #3# bilhetes premiados)

(c) existem #2# bilhetes premiados entre aqueles #4# comprou

(assim, #2# bilhetes comprados são de uma piscina de #4# bilhetes não premiados e #2# bilhetes são de uma piscina de #3# bilhetes premiados)

(d) existem #3# bilhetes premiados entre aqueles #4# comprou

(assim, #1# bilhete comprado é de uma piscina de #4# bilhetes não premiados e #3# bilhetes são de uma piscina de #3# bilhetes premiados)

Cada um dos eventos acima tem sua própria probabilidade de ocorrência.Estamos interessados nos eventos (c) e (d), a soma das probabilidades de sua ocorrência é o problema. Estes dois eventos independentes constituem o evento "ganhando pelo menos dois prêmios". Como são independentes, a probabilidade de um evento combinado é a soma de seus dois componentes.

A probabilidade do evento (c) pode ser calculada como uma razão do número de combinações de #2# bilhetes comprados são de uma piscina de #4# bilhetes não premiados e #2# bilhetes são de uma piscina de #3# bilhetes premiados (# N_c #) para o número total de combinações de #4# fora de #7# (N)

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

O numerador # N_c # é igual ao número de combinações de #2# ganhar bilhetes de fora #3# acessível # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # multiplicado pelo número de combinações de #2# bilhetes não premiados fora de #4# acessível # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

Então, o numerador é

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

O denominador é

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

Então, a probabilidade do evento (c) é

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Da mesma forma, para o caso (d), temos

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

O total de probabilidades dos eventos (c) e (d) é

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #