Como faço para integrar isso?

Responda:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + c #

Explicação:

Queremos resolver

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Vamos tentar o problema mais geral

# I_1 = inte ^ (ax) cos (bx) dx #

Onde nós procuramos a solução

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

O truque é usar a integração por partes duas vezes

# intudv = uv-intvdu #

Deixei # u = e ^ (axe) # e # dv = cos (bx) dx #

Então # du = ae ^ (ax) dx # e # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) -a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Aplicar integração por partes ao integral restante

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Deixei # u = e ^ (axe) # e # dv = sin (bx) dx #

Então # du = ae ^ (ax) dx # e # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / ser ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Substitua isto na integral original e resolva por # I_1 #, é um pouco longo, mas nós tomamos passo a passo

# I_1 = 1 / ser ^ (ax) sen (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / ser ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / ser ^ (ax) sen (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (a ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / ser ^ (ax) sen (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / ser ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (seja ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (bx)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Para o seu problema # a = ln (2) # e # b = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + c #

Espero que não haja muitos erros

Veja a resposta abaixo: nós resolvemos usar elementos discretos em vez de uma formulação geral e não simplificamos o resultado final, como segue: