Talvez eu possa estar confundindo, mas acho que a pergunta deveria ser: "Para qual valor de # c # será a expressão # 4x ^ 2 + 12x + c # ser um quadrado perfeito?"
Nesse caso, aqui está minha solução:
Essa expressão deve estar no # (ax + b) ^ 2 # para que seja um quadrado perfeito, então eu escrevo
# 4x ^ 2 + 12x + c - = (ax + b) ^ 2 #
#=> #4x ^ 2 + 12x + c- = a ^ 2x ^ 2 + 2abx + b ^ 2 #
Coeficientes equivalentes dos poderes de # x # em ambos os lados, # 4 = a ^ 2 => a ^ 2 = 4 #
# 12 = 2ab => 4a ^ 2b ^ 2 = 144 ## => 4 * 4 * b ^ 2 = 144 => b ^ 2 = 9 #
#c = b ^ 2 #
# => c = 9 #
