Se possível, encontre uma função f tal que grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Responda:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Explicação:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Agora pegue" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Então nós temos um e o mesmo f, que satisfaz as condições." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Responda:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Explicação:

Temos pouca notação na questão, pois o operador del (ou operador de gradiente) é um operador diferencial vetorial, Nós procuramos uma função #f (x, y) # de tal modo que:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Onde #bb (grad) # é o operador de gradiente:

# "grad" f = bb (grad) f = (parcial f) / (parcial x) bb (ul hat i) + (parcial f) / (parcial x) bb (ul j) = << f_x, f_y> > #

De onde precisamos que:

# f_x = (parcial f) / (parcial x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. UMA

# f_y = (parcial f) / (parcial y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Se integrarmos A wrt # x #enquanto trata # y # como uma constante, então temos:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Se integrarmos B wrt # y #enquanto trata # x # como uma constante, então temos:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Onde #u (y) # é uma função arbitrária de # y # sozinho, e #v (x) # é uma função arbitrária de # x # sozinho.

Obviamente, exigimos que essas funções sejam idênticas, portanto, temos:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

E assim escolhemos #v (x) = x ^ 4 # e #u (y) = y ^ 6 #, o que nos dá a nossa solução:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Podemos prontamente confirmar a solução calculando as derivadas parciais:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED