Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sen ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sen ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nova pergunta ?

#uma)#

Você só precisa levar #Psi ^ "*" Psi #.

#color (azul) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sen ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = cor (azul) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

O período pode ser encontrado com o mínimo de esforço, simplesmente conhecendo-se primeiro as energias, que são constantes do movimento.

A energia de # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # é # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #e a energia de # phi_2 # é # 4E_1 #. Portanto, a frequência # omega_2 # do # phi_2 # é quatro vezes maior do que # phi_1 # (# omega_1 #).

Como resultado, o período # T_1 = (2pi) / (omega_1) # do # phi_1 # é quatro vezes maior do que # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #e também é um período de # phi_2 #.

O período é assim #color (azul) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Eu vou deixar você ligar este em si mesmo como #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Você não precisa fazer nada com isso …

Nós sabemos isso #T = (2pi) / (omega_1) #, e essa # (iEt) / ℏ = iomegat #, assim

#E_n = omega_nℏ #.

Como um resultado, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

e

#color (azul) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = cor (azul) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

A probabilidade de encontrar a partícula em # 0, l / 2 # é dado como

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sen ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sen ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Os dois primeiros termos são simétricos com metade da amplitude e produzem #50%# No geral.

O terceiro termo teria uma probabilidade de estado estacionário de # 4 / (3pi) #e # cos # é um fator de fase arbitrário. Assim, a probabilidade geral é

# = cor (azul) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (azul) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sen ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Não há solução trivial para isso … Isso acaba sendo:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = cor (azul) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

No #x = L / 2 #, a #pecado# termos vão para #sin (pi / 2) = 1 # e para #sin (pi) = 0 #, respectivamente.

Desde a #sin (pi) = 0 #, a parte dependente do tempo #Psi ^ "*" Psi # desaparece e a parte independente do tempo retém # 1 / L # como a densidade de probabilidade.