Por que você precisa encontrar a forma trigonométrica de um número complexo?

Dependendo do que você precisa fazer com seus números complexos, a forma trigonométrica pode ser muito útil ou muito espinhosa.

Por exemplo, vamos # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # e # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Vamos calcular as duas formas trigonométricas:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # e # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # e # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # e # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Portanto, as formas trigonométricas são:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Adição

Digamos que você queira computar # z_1 + z_2 + z_3 #. Se você usa a forma algébrica, você obtém

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (-1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Muito fácil. Agora tente com a forma trigonométrica …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sen (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sen (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + eu pe (2/3 pi)) #

Acontece que o caminho mais curto para adicionar essas duas expressões é resolver cossenos e senos, o que significa … voltar-se para a forma algébrica!

A forma algébrica é frequentemente a melhor forma de escolher ao adicionar números complexos.

Multiplicação

Agora nós tentamos computar # z_1 * z_2 * z_3 #. Usar formas algébricas requer muitos cálculos irritantes. Mas resolver este produto com as formas trigonométricas é mais simples:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sen (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sen (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i pecado (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i pecado (13/12 pi)) #

Os ingredientes para provar que a segunda igualdade vem da trigonometria: os dois fórmulas de adição

#sin (alfa + beta) = sen (cos) (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sen (beta) #

A multiplicação de números complexos é ainda mais limpa (mas conceitualmente não mais fácil) de forma exponencial.

Em certo sentido, a forma trigonométrica é uma forma intermediária entre as formas algébrica e exponencial. A forma trigonométrica é a maneira de alternar entre esses dois. Nesse sentido, é uma espécie de "dicionário" para "traduzir" formulários.