Responda:
Eu não acho que essa equação seja válida. Estou assumindo #abs (z) # é a função de valor absoluto
Explicação:
Tente com dois termos # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Conseqüentemente
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Talvez você queira dizer a desigualdade do triângulo para números complexos:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Nós podemos abreviar isto
# | sum z_i | le sum | z_i | #
onde as somas são #sum_ {i = 1} ^ n #
Lema. # text {Re} (z) le | z | #
A parte real nunca é maior que a magnitude. Deixei # z = x + iy # para alguns reais # x # e # y #. Claramente # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # e pegando raízes quadradas # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. A magnitude é sempre positiva; # x # pode ou não ser; De qualquer forma, nunca é mais do que a magnitude.
Eu vou usar o overbar para conjugado. Aqui temos um número real, a magnitude quadrada, que é igual ao produto dos conjugados.O truque é que é igual à sua própria parte real. A parte real da soma é a soma das partes reais.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = texto {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (barra z_i (sum_j z_j)) #
Pelo nosso lema, e a magnitude do produto sendo o produto das magnitudes, e a magnitude dos conjugados são iguais,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | barra z_i (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Podemos cancelar um fator da magnitude da soma # | soma z_i | #, o que é positivo, preservando a desigualdade.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Isso é o que queríamos provar.
