Como você encontra a expansão binomial para (2x + 3) ^ 3?

Responda:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Explicação:

Com o triângulo do Pascal, é fácil encontrar todas as expansões binomiais:

Cada termo, deste triângulo, é o resultado da soma de dois termos no topo da linha. (exemplo em vermelho)

#1#

#1. 1#

#color (azul) (1. 2. 1) #

# 1. cor (vermelho) 3. cor (vermelho) 3. 1 #

# 1. 4. cor (vermelho) 6. 4. 1 #

…

Mais, cada linha tem a informação de uma expansão binomial:

A 1ª linha, para o poder #0#

O segundo, pelo poder #1#

O terceiro, pelo poder #2#…

Por exemplo: # (a + b) ^ 2 # vamos usar a terceira linha em azul seguindo essa expansão:

# (a + b) ^ 2 = cor (azul) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + cor (azul) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + cor (azul) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Então: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Para o poder #3#:

# (a + b) ^ 3 = cor (verde) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + cor (verde) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + cor (verde) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + cor (verde) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Então # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Então aqui nós temos #color (vermelho) (a = 2x) # e #color (azul) (b = 3) #:

E # (2x + 3) ^ 3 = cor (vermelho) ((2x)) ^ 3 + 3 * cor (vermelho) ((2x)) ^ 2 * cor (azul) 3 + 3 * cor (vermelho) ((2x)) * cor (azul) 3 ^ 2 + cor (azul) 3 ^ 3 #

Assim sendo: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Responda:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Explicação:

# (2x + 3) ^ 3 #

Use o cubo de um método de soma, em que # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x; # # b = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #