Temos um teto de meio cilindro de raio r e altura r montado em cima de quatro paredes retangulares de altura h. Temos 200π m ^ 2 de folha plástica para ser usada na construção dessa estrutura. Qual é o valor de r que permite o volume máximo?

Responda:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Explicação:

Deixe-me reafirmar a pergunta como eu a entendo.

Desde que a área de superfície deste objeto seja # 200pi #, maximize o volume.

Plano

Conhecendo a área da superfície, podemos representar uma altura # h # como uma função do raio # r #, então podemos representar o volume como uma função de apenas um parâmetro - raio # r #.

Esta função precisa ser maximizada usando # r # como um parâmetro. Isso dá o valor de # r #.

Área de superfície contém:

4 paredes que formam uma superfície lateral de um paralelepípedo com um perímetro de uma base # 6r # e altura # h #, que têm área total de # 6rh #.

1 telhado, metade de uma superfície lateral de um cilindro de raio # r # e altura # r #, que tem área de #pi r ^ 2 #

2 lados do telhado, semicírculos de raio # r #, área total da qual é #pi r ^ 2 #.

A área de superfície total resultante de um objeto é

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Sabendo que isso é igual a # 200pi #nós podemos expressar # h # em termos de # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

O volume deste objeto tem duas partes: abaixo do telhado e dentro do telhado.

Abaixo do telhado temos um paralelepípedo com área da base # 2r ^ 2 # e altura # h #, esse é o seu volume

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Dentro do telhado temos meio cilindro com raio # r # e altura # r #, seu volume é

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Temos que maximizar a função

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

que se parece com isso (não em escala)

gráfico {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Essa função atinge seu máximo quando sua derivada é igual a zero para um argumento positivo.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

Na área de #r> 0 # é igual a zero quando # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Esse é o raio que dá o maior volume, dada a área de superfície e a forma de um objeto.