Responda:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Explicação:
Primeiro deixe # t = cosx #.
# y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Agora, vamos completar o quadrado para fatorar isso.
# y = (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Observe que # (t + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = t ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = t ^ 2 + 7t + 49/4 #
Então nós queremos adicionar #49/4# na expressão e subtrai-a novamente.
# y = (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Observe que #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Agora note que # 17/4 = (sqrt / 2) ^ 2 #.
# y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Agora, temos uma diferença de quadrados e podemos fatorar como um.
#y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Se quisermos, podemos trazer um fator comum de #1/2# de cada parte:
# y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Responda:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
Explicação:
deixei # u = cos (x) #
A questão então se torna:
Fator # u ^ 2 + 7u + 8 # você poderia simplesmente usar a fórmula quadrática aqui, ou seja, # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
ou você poderia fazer o caminho mais longo (o que não é melhor do que a fórmula, na verdade, é um dos métodos usados para formular a fórmula quadrática):
encontre duas raízes, # r_1 # e # r_2 # de tal modo que # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Expandir: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Portanto: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
e portanto: # - (r_1 + r_2) = 7 # e # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Assim, a forma fatorada é # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
sub # u = cos (x) # para obter:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
