Quais são os extremos locais, se houver, de f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Responda:

Parabolae tem exatamente um extremo, o vértice.

Isto é #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Desde a # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # Em todos os lugares, a função é côncava em todos os lugares e este ponto deve ser mínimo.

Explicação:

Você tem duas raízes para encontrar o vértice da parábola: uma, use cálculo para descobrir se a derivada é zero; dois, evite cálculo a todo custo e apenas complete o quadrado. Nós vamos usar o cálculo para a prática.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, precisamos tomar a derivada disso.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Pela linearidade do derivado que temos

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Usando a regra de poder, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # temos

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Ajustamos este valor igual a zero para encontrar os pontos críticos, os mínimos e mínimos locais e globais e, às vezes, os pontos de inflexão têm derivados de zero.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

então temos um ponto crítico em # x = -9 / 2 # ou #-4 1/2#.

Para encontrar a coordenada y do ponto crítico, sub sub # x = -9 / 2 # de volta para a função, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

O ponto crítico / vértice é #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Nós sabemos disso porque #a> 0 #, isso é um máximo.

Para encontrar formalmente se é um máximo ou mínimo, precisamos fazer o segundo teste derivativo.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

A segunda derivada é 2 em todos os valores de x. Isto significa que é maior que zero em todo lugar, e a função é côncava em todo lugar (é uma parábola com #a> 0 # afinal), então os extremos devem ser um mínimo, o vértice.