O que é x se log_4 (8x) - 2 = log_4 (x-1)?

Responda:

# x = 2 #

Explicação:

Nós gostaríamos de ter uma expressão como

# log_4 (a) = log_4 (b) #, porque se tivéssemos, poderíamos terminar facilmente, observando que a equação seria resolvida se e somente se # a = b #. Então, vamos fazer algumas manipulações:

1. Primeiro de tudo, note que #4^2=16#, assim # 2 = log_4 (16) #.

A equação então reescreve como

# log_4 (8x) -log_4 (16) = log_4 (x-1) #

Mas ainda não estamos felizes, porque temos a diferença de dois logaritmos no membro da esquerda e queremos um único. Então nós usamos

1. #log (a) -log (b) = log (a / b) #

Então, a equação se torna

# log_4 (8x / 16) = log_4 (x-1) #

Que é claro

# log_4 (x / 2) = log_4 (x-1) #

Agora estamos na forma desejada: como o logaritmo é injetivo, se # log_4 (a) = log_4 (b) #, então necessariamente # a = b #. No nosso caso,

# log_4 (x / 2) = log_4 (x-1) iff x / 2 = x-1 #

Qual é facilmente resolver em # x = 2x-2 #, que produz # x = 2 #