Responda:
# "Não existe fatoração fácil aqui. Somente um método geral" #
# "para resolver uma equação cúbica pode nos ajudar aqui." #
Explicação:
# "Poderíamos aplicar um método baseado na substituição de Vieta." #
# "Dividindo pelo primeiro coeficiente rende:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Substituindo" x = y + p "em" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "produz:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + pb + c = 0 #
# "se tomarmos" 3p + a = 0 "ou" p = -a / 3 ", o primeiro coeficiente" # # "se torna zero, e nós temos:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(com" p = -2/3 ")" #
# "Substituindo" y = qz "em" y ^ 3 + b y + c = 0 ", retorna:" #
# z ^ 3 + bz / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "se pegarmos" q = sqrt (| b | / 3) ", o coeficiente de z se torna" #
# "3 ou -3, e nós temos:" #
# "(aqui" q = 1,61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Substituindo" z = t + 1 / t ", retorna:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Substituindo" u = t ^ 3 ", produz a equação quadrática:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "As raízes da equação quadrática são complexas." #
# "Isso significa que temos 3 raízes reais em nossa equação cúbica." #
# "Uma raiz desta equação quadrática é" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 i #
# "Substituindo as variáveis de volta, produz:" #
#t = root3 (u) = 1,0 * (cos (-0,93041329) + i sin (-0,93041329))
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1,93100097 + i 0,0. #
# => x = 1,26433430 #
# "As outras raízes podem ser encontradas dividindo e resolvendo o" # # "equação quadrática restante" #
# "As outras raízes são reais: -3.87643981 e 0.61210551." #
Responda:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
Onde:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Explicação:
Dado:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Note que isso fatoriza muito mais facilmente se houver um erro de digitação na questão.
Por exemplo:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2 cores (vermelho) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + cor (vermelho) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Se o cúbico estiver correto no formulário indicado, podemos encontrar seus zeros e fatores da seguinte maneira:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Transformação de Tschirnhaus
Para simplificar a tarefa de resolver o cúbico, simplificamos o uso de uma substituição linear conhecida como transformação de Tschirnhaus.
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = t ^ 3-282t + 1712 #
Onde # t = (6x + 4) #
Substituição trigonométrica
Desde a #f (x) # tem #3# zeros reais, o método de Cardano e similares resultarão em expressões envolvendo raízes cúbicas irredutíveis de números complexos. Minha preferência em tais circunstâncias é usar uma substituição trigonométrica.
Colocar:
#t = k cos theta #
Onde #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Então:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (branco) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 teta - 282k cos teta + 1712 #
#color (branco) (0) = 94k (4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta) + 1712 #
#color (branco) (0) = 94k cos 3 teta + 1712 #
Assim:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Assim:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Assim:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Assim:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)
Quais dados #3# zeros distintos do cúbico em # t #:
#t_n = k cos teta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # para #n = 0, 1, 2 #
Então:
#x = 1/6 (t-4) #
Portanto, os três zeros do dado cúbico são:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
com valores aproximados:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
