Qual é a antiderivada de 1 / sinx?

Responda:

Isto é # -ln abs (cscx + berço x) #

Explicação:

# 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) #

# = (csc ^ 2 x + csc x cot x) / (cscx + cotx) #

O numerador é o oposto (o 'negativo') da derivada do denomoinador.

Portanto, a antiderivada é menos o logaritmo natural do denominador.

# -ln abs (cscx + berço x) #.

(Se você aprendeu a técnica de substituição, podemos usar #u = cscx + berço x #, assim #du = -csc ^ 2 x - cscx cotx #. A expressão se torna # -1 / u du #.)

Você pode verificar essa resposta diferenciando.

Uma abordagem diferente para isso

# int1 / sinxdx # #=#

# intsinx / sin ^ 2xdx #

# intsinx / (1-cos ^ 2x) dx #

Substituto

# cosx = u #

# -sinxdx = du #

# sinxdx = -du #

#=# # -int1 / (1-u ^ 2) du #

# 1 / (1-u ^ 2) = 1 / ((u-1) (u + 1)) = A / (u-1) + B / (u + 1) # #=#

# (A (u + 1) + B (u-1)) / ((u-1) (u + 1)) #

Nós precisamos #A (u + 1) + B (u-1) = 1 # #<=>#

# Au + A + Bu-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 1 # #<=>#

# (A + B) u + A-B = 0u + 1 # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A-B = 1 ""):} # #<=>#

# {(A + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B + 1 + B = 0 ""), (A = B + 1 ""):} # #<=>#

# {(B = -1 / 2 ""), (A = 1/2 ""):} #

Assim sendo, # -int1 / (1-u ^ 2) du # #=#

#int ((1/2) / (u-1) - (1/2) / (u + 1)) du # #=#

# 1 / 2int (1 / (u + 1) -1 / (u-1)) du # #=#

# 1 / 2int (((u + 1) ') / (u + 1) - ((u-1)') / (u-1)) du # #=#

# 1/2 (ln | u + 1 | -ln | u-1 | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (u + 1) / (u-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (cosx + 1) / (cosx-1) | + c) # #=#

# 1/2 (ln | (1-cosx) / (1 + cosx) | + c) #

#ln | tan (x / 2) | + c '#, # (c, c ') ##em## RR #

Qual é a antiderivada da função de distância?

A função de distância é: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Vamos manipular isso. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Como a antideriva é basicamente uma integral indefinida, isso se torna uma soma infinita de dx infinitamente pequeno: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx que acontece de ser a fórmula para o comprimento do arco de qualquer função que você possa integrar de forma organizada após a manipulação.

Qual é a antiderivada de uma constante? + Exemplo

Acho mais simples pensar nisso olhando primeiro para a derivada. Quero dizer: o que, depois de diferenciado, resultaria em uma constante? Claro, uma variável de primeiro grau. Por exemplo, se sua diferenciação resultou em f '(x) = 5, é evidente que a antiderivada é F (x) = 5x Então, a antiderivada de uma constante é a variável em questão (seja x, y, etc. .) Podemos colocar desta forma, matematicamente: intcdx <=> cx Note que c está mutiplicando 1 na integral: intcolor (verde) (1) * cdx <=> cx Isso significa que a variável de primeiro grau sendo diferenc

Como você encontra a antiderivada de e ^ (sinx) * cosx?

Use uma substituição u para encontrar inte ^ sinx * cosxdx = e ^ sinx + C. Observe que a derivada de sinx é cosx e, como elas aparecem na mesma integral, esse problema é resolvido com uma substituição de u. Seja u = sinx -> (du) / (dx) = cosx-> du = cosxdx inte ^ senx * cosxdx torna-se: inte ^ udu Esta integral é avaliada como e ^ u + C (porque a derivada de e ^ u é e ^ você). Mas u = sinx, então: inte ^ sinx * cosxdx = inte ^ udu = e ^ u + C = e ^ sinx + C