Responda:
# dy / dx = -20 / 21 #
Explicação:
Você precisará conhecer os fundamentos da diferenciação implícita para esse problema.
Sabemos que a inclinação da linha tangente em um ponto é a derivada; então o primeiro passo será pegar a derivada. Vamos fazer isso peça por peça, começando com:
# d / dx (3y ^ 2) #
Este não é muito difícil; você só precisa aplicar a regra da cadeia e a regra de energia:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Agora, para # 4xy #. Vamos precisar das regras de energia, corrente e produto para esta:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Regra do produto: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Tudo bem, finalmente # x ^ 2y # (mais regras de produto, energia e corrente):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Agora que encontramos todos os nossos derivados, podemos expressar o problema como:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Lembre-se que a derivada de uma constante é #0#).
Agora nós coletamos termos com # dy / dx # de um lado e mova tudo para o outro:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Tudo o que resta a fazer é ligar #(2,5)# para encontrar a nossa resposta:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
