Como expandir na série Maclaurin isso? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / tdt

Responda:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visual: confira este gráfico

Explicação:

Nós claramente não podemos avaliar esta integral, pois está usando qualquer uma das técnicas de integração regulares que aprendemos. No entanto, uma vez que é uma integral definida, podemos usar uma série MacLaurin e fazer o que é chamado de integração de termo a termo.

Nós precisaremos encontrar a série MacLaurin. Como não queremos encontrar a n-ésima derivação dessa função, precisaremos tentar encaixá-la em uma das séries MacLaurin que já conhecemos.

Em primeiro lugar, não gostamos #registro#; nós queremos fazer isso um # ln #. Para fazer isso, podemos simplesmente empregar a mudança da fórmula base:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Então nós temos:

# int_0 ^ xln (1-t) / (tln (10)) dt #

porque nós fazemos isso? Bem, agora note que # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Por que isso é tão especial? Bem, # 1 / (1-x) # é uma das nossas séries MacLaurin mais usadas:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…para todos # x # em #(-1, 1#

Então, podemos usar esse relacionamento a nosso favor e substituir #ln (1-t) # com # int-1 / (1-t) dt #, o que nos permite substituir isso # ln # prazo com uma série MacLaurin. Colocando isso juntos dá:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Avaliando a integral:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Cancelando o # t # termo no denominador:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

E agora, nós tomamos a integral definida, nós começamos o problema com:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Nota: Observe como agora não precisamos nos preocupar em dividir por zero neste problema, que é um problema que tivemos no integrando original devido ao # t # termo no denominador. Como isso foi cancelado na etapa anterior, isso mostra que a descontinuidade é removível, o que funciona bem para nós.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # avaliado de #0# para # x #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Certifique-se de perceber, no entanto, que esta série só é boa no intervalo #(1, 1#, uma vez que a série MacLaurin que usamos acima é apenas convergente neste intervalo. Confira este gráfico que fiz para ter uma ideia melhor de como isso é.

Espero que tenha ajudado:)