Qual é o limite quando x se aproxima do infinito de (ln (x)) ^ (1 / x)?

É bem simples. Você deve usar o fato de que

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Então você sabe disso

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

E então, a parte interessante acontece que poderia ser resolvida de duas maneiras - usando a intuição e usando matemática.

Vamos começar com parte da intuição.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n> infty) e ^ (("algo menor que x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Vamos pensar por que isso acontece?

Graças à continuidade de # e ^ x # função podemos mover limite:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Para avaliar este limite #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #podemos usar a regra de l'Hospital, que afirma:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Portanto, quando contamos derivativos, obtemos:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n> infty) (1 / (xln (x)) #

Como os derivados são # 1 / (xln (x)) # para nominador e #1# para o denominador.

Esse limite é fácil de calcular, pois é # 1 / infty # tipo de limite que é zero.

Portanto, você vê que

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

E isso significa que #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # também.