Responda:
O discriminante #Delta# do # m ^ 2 + m + 1 = 0 # é #-3#.
assim # m ^ 2 + m + 1 = 0 # não tem soluções reais. Tem um par conjugado de soluções complexas.
Explicação:
# m ^ 2 + m + 1 = 0 # é da forma # am ^ 2 + bm + c = 0 #com # a = 1 #, # b = 1 #, # c = 1 #.
Isso tem discriminante #Delta# dada pela fórmula:
#Delta = b ^ 2-4ac = 1 ^ 2 - (4xx1xx1) = -3 #
Nos podemos concluir que # m ^ 2 + m + 1 = 0 # não tem raízes reais.
As raízes do # m ^ 2 + m + 1 = 0 # são dadas pela fórmula quadrática:
#m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) #
Observe que o discriminante é a parte dentro da raiz quadrada. Então se #Delta> 0 # então a equação quadrática tem duas raízes reais distintas. E se #Delta = 0 # então tem uma raiz real repetida. E se #Delta <0 # então tem um par de raízes complexas distintas.
No nosso caso:
#m = (-b + -sqrt (Delta)) / (2a) = (-1 + -sqrt (-3)) / 2 = (-1 + -i sqrt (3)) / 2 #
O número # (- 1 + i sqrt (3)) / 2 # é frequentemente denotada pela letra grega #ómega#.
É a raiz cúbica primitiva de #1# e é importante ao encontrar todas as raízes de uma equação cúbica geral.
Notar que # (m-1) (m ^ 2 + m + 1) = m ^ 3 - 1 #
assim # omega ^ 3 = 1 #
Responda:
O discriminante de # (m ^ 2 + m + 1 = 0) # é #(-3)# o que nos diz que não há soluções reais para a equação (um grafo da equação não cruza o eixo m).
Explicação:
Dada uma equação quadrática (usando # m # como a variável) no formulário:
#color (branco) ("XXXX") ## am ^ 2 + bm + c = 0 #
A solução (em termos de # m #) é dado pela fórmula quadrática:
#color (branco) ("XXXX") ##m = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #
o discriminante é a porção:
#color (branco) ("XXXX") ## b ^ 2-4ac #
Se o discriminante é negativo
#color (branco) ("XXXX") #pode haver sem soluções reais
#color (branco) ("XXXX") #(desde que não há valor real que é a raiz quadrada de um número negativo).
Para o exemplo dado
#color (branco) ("XXXX") ## m ^ 2 + m + 1 = 0 #
o discriminante, #Delta# é
#color (branco) ("XXXX") ##(1)^2 - 4(1)(1) = -3#
e, portanto, #color (branco) ("XXXX") #não há soluções reais para esta quadrática.
