O que são quaternions?

Responda:

Um tipo de número para o qual a multiplicação geralmente não é comutativa.

Explicação:

Numeros reais (# RR #) pode ser representado por uma linha - um espaço unidimensional.

Números complexos (# CC #) pode ser representado por um plano - um espaço bidimensional.

Quaternions (H) pode ser representado por um espaço de quatro dimensões.

Em números aritméticos ordinários, satisfaça as seguintes regras:

Adição

Identidade: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

Inverso: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

Associatividade: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

Comutatividade: #AA a, b: a + b = b + a #

Multiplicação

Identidade: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

Inverso de não-zero: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

Associatividade: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

Comutatividade: #color (vermelho) (AA a, b: a * b = b * a) #

Juntos

Distributividade: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#cor branca)()#

Essas regras funcionam para o conjunto de números racionais # QQ #, o conjunto de números reais # RR # e os números complexos # CC # e definir o que é chamado de campo - um conjunto equipado com operações de adição e multiplicação que satisfaçam essas regras.

Quaternions (H) é o que é chamado de campo de inclinação ou álgebra de divisão associativa - um conjunto equipado com operações de adição e multiplicação satisfazendo todas essas condições, exceto a comutatividade da multiplicação.

Sendo também um #4# espaço vetorial dimensional sobre os reais, eles são a maior álgebra de divisão associativa sobre os reais, os únicos outros dois sendo # RR # e # CC #.

Além do eixo Real, as unidades nos outros três eixos são chamadas #Eu#, # j # e #k #. Eles são todos raízes quadradas de #-1#.

Essas três unidades imaginárias satisfazem as seguintes condições:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions podem ser representados por # 2xx2 # matrizes com valores complexos ou por # 4xx4 # matrizes com valores reais.

Eles têm aplicações em mecânica e física teórica.

#cor branca)()#

Nota de rodapé

Observe que eu disse associativo álgebra de divisão. Além dos Quatérnions estão os Octonions ainda mais estranhos que abandonam a exigência de que a multiplicação seja associativa.