Pergunta # 90cf3 + Exemplo

Responda:

Para encontrar as raízes de equações como # e ^ x = x ^ 3 #, Eu recomendo que você use um método de análise numérica recursiva, chamado Método de Newton

Explicação:

Vamos fazer um exemplo.

Para usar o método de Newton, você escreve a equação no formulário #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

Calcular #f '(x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

Como o método exige que façamos o mesmo cálculo muitas vezes, até convergir, recomendo que você use uma planilha do Excel; o resto da minha resposta conterá instruções sobre como fazer isso.

Digite um bom palpite para x na célula A1. Para esta equação, vou entrar em 2.

Digite o seguinte na célula A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

Por favor, note que o acima é uma linguagem de planilha do Excel para

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

Copie o conteúdo da célula A2 em A3 a A10. Depois de apenas 3 ou 4 recursões, você pode ver que o método convergiu

#x = 1.857184 #

Responda:

Podemos usar o Teorema do Valor Intermediário para ver que cada par tem pelo menos um ponto de intersecção.

Explicação:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # é contínuo em toda a linha real.

No # x = 0 #, temos #f (0) = 1 #.

No # x = -1 #, temos #f (-1) = 1 / e-1 # que é negativo.

# f # é contínuo em #-1,0#, então há pelo menos um # c # em #(-1,0)# com #f (c) = 0 #.

#g (x) = e ^ x-x ^ 3 # é contínuo em toda a linha real.

No # x = 0 #, temos #g (0) = 1 #.

No # x = 2 #, temos #g (2) = e ^ 2-8 # que é negativo.

(Observe que # e ^ 2 ~ ~ 2,7 ^ 2 <7,3 <8 #.)

# g # é contínuo em #0,2#, então há pelo menos um # c # em #(0,2)# com #g (c) = 0 #.