Pergunta # 53a2b + Exemplo

Responda:

Esta definição de distância é invariante sob mudança de referencial inercial e, portanto, tem significado físico.

Explicação:

O espaço Minkowski é construído para ser um espaço de 4 dimensões com coordenadas de parâmetros # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #onde nós costumamos dizer # x_0 = ct #. No centro da relatividade especial, temos as transformações de Lorentz, que são transformações de um referencial inercial para outro que deixam a velocidade da luz invariante. Eu não vou entrar na derivação completa das transformações de Lorentz, se você quer que eu explique isso, apenas pergunte e eu entrarei em mais detalhes.

O importante é o seguinte. Quando olhamos para o espaço euclidiano (o espaço em que temos a definição comum de comprimento a que estamos habituados # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), temos certas transformações; rotações espaciais, traduções e espelhamento. Se calcularmos a distância entre dois pontos em vários quadros de referência conectados por essas transformações, achamos que a distância é a mesma. Isso significa que a distância euclidiana é invariante sob essas transformações.

Agora estendemos essa noção para o espaço-tempo de 4 dimensões. Antes da teoria de Einstein da relatividade especial, conectamos os referenciais inerciais pelas transformações de Galileu, que apenas substituíram uma coordenada espacial #XI# por # x_i-v_it # para #iin {1,2,3} # Onde # v_i # é a velocidade do observador no #Eu# direção em relação ao quadro original. Essa transformação não deixou a velocidade da luz invariante, mas deixou a distância induzida pelo elemento de linha # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, simplesmente porque não há mudança na coordenada de tempo, então o tempo é absoluto.

No entanto, a transformação de Galileu não descreve com precisão a transformação de um referencial inercial em outro, porque sabemos que a velocidade da luz é invariante sob as devidas transformações de coordenadas. Portanto, introduzimos a transformação de Lorentz. A distância euclidiana estendida ao espaço-tempo de 4 dim como foi feito acima não é invariante sob esta transformação de Lorentz, no entanto, a distância induzida por # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # é, o que chamamos de distância apropriada. Assim, embora esta distância euclidiana, em que o teorema de Pitágoras se sustenta seja uma estrutura matemática perfeitamente decente no espaço 4-dim, não tem nenhum significado físico, já que depende do observador.

A distância apropriada não é dependente do observador, portanto podemos dar-lhe significado físico, isto é feito conectando a distância de uma linha do mundo através do espaço de Minkowski usando esta distância para o tempo passado observado por um objeto viajando ao longo desta linha mundial. Note que se deixarmos o tempo fixo, o teorema de Pitágoras ainda se mantém nas coordenadas espaciais.

EDIÇÃO / EXPLICAÇÃO ADICIONAL:

O autor original da pergunta me pediu para elaborar um pouco mais, ele escreveu: "Obrigado. Mas, você pode por favor explicar os dois últimos paras um pouco mais. Em um livro eu vi que eles tinham # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Por favor, explique: "Em essência, o que temos aqui é uma versão bidimensional do que eu descrevi acima. Nós temos uma descrição do espaço-tempo com uma dimensão temporal e uma espaço. Nela definimos uma distância, ou mais precisamente uma norma a origem até um ponto) # s # usando a fórmula # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # Onde # x # é a coordenada espacial e # t # a coordenada temporal.

O que eu fiz acima foi uma versão tridimensional disso, mas mais importante eu usei # (ds) ^ 2 # ao invés de # s ^ 2 # (Eu adicionei parênteses para esclarecer o que é quadrado). Sem entrar em detalhes da geometria diferencial, se tivermos uma linha conectando dois pontos no espaço, # ds # é o comprimento de uma pequena parte da linha, um chamado elemento de linha. Através de uma versão em 2D do que escrevi acima, temos # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, que relaciona o comprimento dessa minúscula peça com a pequena alteração nas coordenadas. Para calcular a distância da origem até um ponto # x_0 = a, x_1 = b # no espaço-tempo, calculamos o comprimento de uma linha reta indo da origem até aquele ponto, essa linha é dada # x_0 = a / bx_1 # Onde # x_1em 0, b #, nós notamos que # dx_0 = a / bdx_1 #, assim # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, assim # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, que podemos integrar, dando # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Assim sendo # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2 x_0 ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # em # (t, x) # coordenadas.

Então, de fato, o que escrevi acima dá o que você lê no livro. No entanto, a versão do elemento de linha permite calcular o comprimento de qualquer linha, não apenas linhas retas. A história sobre a transformação de Lorentz ainda se mantém, essa norma # s # é invariante sob mudança de quadro de referência, enquanto # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # não é.

O fato de que o teorema de Pitágoras não é válido não é surpreendente. O teorema de Pitágoras é válido na geometria euclidiana. Isso significa que o espaço em que você trabalha é plano. Um exemplo de espaços que não são planos é a superfície de uma esfera. Quando você deseja encontrar a distância entre dois pontos nesta superfície, você toma o comprimento do caminho mais curto sobre essa superfície conectando esses dois pontos. Se você construísse um triângulo retângulo nesta superfície, que seria muito diferente de um triângulo no espaço euclidiano, uma vez que as linhas não seriam retas, o teorema de Pitágoras não é válido em geral.

Outra característica importante da geometria euclidiana é que quando você coloca um sistema de coordenadas neste espaço, cada coordenada desempenha o mesmo papel. Você poderia girar os eixos e acabar com a mesma geometria. Na geometria de Minkowski, nem todas as coordenadas têm o mesmo papel, uma vez que os eixos de tempo têm um sinal de menos nas equações e os outros não. Se esse sinal de menos não estivesse presente, o tempo e o espaço teriam um papel semelhante no espaço-tempo, ou pelo menos na geometria. Mas sabemos que espaço e tempo não são os mesmos.