Para quais valores de x é f (x) = x-x ^ 2e ^ -x côncavo ou convexo?

Responda:

Encontre a segunda derivada e verifique seu sinal. É convexo se for positivo e côncavo se for negativo.

Côncavo para:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Convexo para:

#x em (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Explicação:

#f (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Primeira derivada:

#f '(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ -x)) #

#f '(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Leva # e ^ -x # como um fator comum para simplificar a próxima derivada:

#f '(x) = 1 + e ^ -x * (x ^ 2-2x) #

Segunda derivada:

#f '' (x) = 0 + (- e ^ -x * (x ^ 2-2x) + e ^ -x * (2x-2)) #

#f '' (x) = e ^ -x * (2x-2-x ^ 2 + 2x) #

#f '' (x) = e ^ -x * (- x ^ 2 + 4x-2) #

Agora devemos estudar o sinal. Podemos mudar o sinal para resolver facilmente o quadrático:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x ^ 2-4x + 2) #

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Para tornar o quadrático um produto:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2 * a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 * 1) = 2 + -sqrt (2) #

Assim sendo:

#f '' (x) = - e ^ -x * (x- (2-sqrt (2))) * (x- (2 + sqrt (2))) #

• Um valor de # x # entre estas duas soluções dá um sinal quadrático negativo, enquanto qualquer outro valor de # x # torna positivo.
• Qualquer valor de # x # faz # e ^ -x # positivo.
• O sinal negativo no início da função inverte todos os sinais.

Assim sendo, #f '' (x) # é:

Positivo, portanto, côncavo para:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativo, portanto convexo para:

#x em (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #