O que representa a velocidade instantânea em um gráfico?

Desde que o gráfico seja de distância como uma função do tempo, a inclinação da linha tangente à função em um dado ponto representa a velocidade instantânea naquele ponto.

Para se ter uma ideia desta inclinação, deve-se usar limites. Por exemplo, suponha que uma tenha uma função de distância #x = f (t) #, e um deseja encontrar a velocidade instantânea, ou taxa de mudança de distância, no ponto # p_0 = (t_0, f (t_0)) #, ajuda primeiro examinar outro ponto próximo, # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #, Onde #uma# é uma constante arbitrariamente pequena. A inclinação do linha secante passar pelo gráfico nesses pontos é:

# f (t00 + a) -f (t_0) / a #

Como # p_1 # aproximações # p_0 # (que ocorrerá como nosso #uma# diminui), o nosso acima #quociente de diferença# vai se aproximar de um limite, aqui designado #EU#, que é o declive da linha tangente no ponto dado. Nesse ponto, uma equação de inclinação de ponto usando nossos pontos acima pode fornecer uma equação mais exata.

Se, em vez disso, alguém estiver familiarizado com diferenciação, e a função é contínua e diferenciável no valor dado de # t #então podemos simplesmente diferenciar a função. Dado que a maioria das funções de distância são funções polinomiais, da forma #x = f (t) = at ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # estes podem ser diferenciados usando o regra de poder que afirma que para uma função #f (t) = at ^ n, (df) / dt # (ou #f '(t) #) = # (n) em ^ (n-1) #.

Assim, para a nossa função polinomial geral acima, #x '= f' (t) = (n) em ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (Note que desde #t = t ^ 1 # (como qualquer número elevado à primeira potência é igual a ele), reduzir o poder em 1 nos deixa # t ^ 0 = 1 #, daí porque o termo final é simplesmente # y #. Note também que o nosso # z # termo, sendo uma constante, não mudou em relação a # t # e assim foi descartado na diferenciação).

este #f '(t) # é a derivada da função distance em relação ao tempo; Assim, mede a taxa de mudança de distância em relação ao tempo, que é simplesmente a velocidade.