Qual é o vértice de y = - (x-6) ^ 2-4x ^ 2-2x-2?

Responda:

#(1,-33)#

Explicação:

Nós começamos com #y = - (x-6) ^ 2-4x ^ 2-2x-2 #.

A primeira coisa que queremos fazer é combinar termos semelhantes, mas não há … ainda. Precisamos expandir # (x-6) ^ 2 #, o que fazemos reescrevendo-o como # (x-6) * (x-6) # e multiplicar por meio de criar # x ^ 2-12x + 36 #.

Nós ligamos isso onde # (x-6) ^ 2 # costumava ser, e vemos isso: #y = - (x ^ 2-12x + 36) -4x ^ 2-2x-2 #. Distribuir o #-# no # (x ^ 2-12x + 36) #, mudando para #x + 2 + 12x-36-4x ^ 2-2x-2 #.

AGORA podemos combinar termos semelhantes.

#x ~ 2-4x ^ 2 # torna-se # -5x ^ 2 #

# 12x-2x # torna-se # 10x #

#-36-2# torna-se #-38#.

Coloque tudo junto e nós temos # -5x ^ 2 + 10x-38 #. Isso não é fatorável, então vamos resolver completando o quadrado. Para fazer isso, o coeficiente de # x ^ 2 # deve ser 1, então fatoramos #-5#. A equação agora se torna # -5 (x ^ 2-2x + 38/5) #. Para completar o quadrado, temos que encontrar o valor que fará # x ^ 2-2x # fatorável. Nós fazemos isso tomando o termo do meio, # -2x #, dividindo-o por dois (#-2/2 = -1#), e quadrando a resposta que você obteve (#-1^2=1#).

Nós então reescrevemos a equação como # y = -5 (x ^ 2-2x + 1 + 38/5) #.

Mas espere!

Não podemos simplesmente colocar um número aleatório na equação! O que fazemos para um lado, devemos fazer para o outro. Agora, eu não sei sobre você, mas eu realmente não quero mudar # y #. Eu gosto de tê-lo isolado, mas ainda temos que lidar com a adição de um #1# para apenas um lado da equação.

Mas você sabe, poderíamos simplesmente subtrair #-1#, que cancelaria o #1# por isso não afetaria a equação. Vamos fazer isso!

Agora a equação diz: # y = -5 (x ^ 2-2xcolor (vermelho) (+ 1-1) +38/5) #. Nós podemos simplificar # x ^ 2-2x + 1 # para # (x-1) ^ 2 # e simplificar #-1+35/5# para somente #33/5#. Podemos simplificar a equação para # -5 ((x-1) ^ 2 + 33/5) #. O último passo é multiplicar o #-5 * 33/5#e porque o #5#s dividir (assim: #cancel (5) * (33 / cancel (5)) #), tudo o que resta é -33.

Juntando tudo, nós temos # y = -5 (x-1) ^ 2-33 #.

Isso está realmente na forma de vértice. Tudo o que temos que fazer para encontrar o vértice é pegar o # y = -5 (xcolor (vermelho) (- 1)) ^ 2color (azul) (- 33) # e colocá-lo em forma de par coordenado: # (cor (vermelho) (1), cor (azul) (- 33)) #.

NOTA a #color (vermelho) (x) # O valor mudou de sinais uma vez que eu tirei da equação. Lembre-se disso como acontece toda vez.