Responda:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # para #b em RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (teta / pi + (2k + 1) / 8))) # para #b = | b | e ^ (itheta) no CC #
Explicação:
Pelo teorema fundamental da álgebra, podemos fatorar a expressão dada como
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
onde cada # alpha_k # é uma raiz de # x ^ 8 + b ^ 8 #.
Resolvendo para # alpha_k #, Nós temos
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | b | (-1) ^ (1/8) # (assumindo #b em RR #)
# = | b | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k em ZZ #
Como #k em {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # contas de todos os valores únicos dessa forma, obtemos nossa fatoração como, por #b em RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Para um mais geral #b no CC #, então supondo #b = | b | e ^ (itheta) #, podemos passar por cálculos semelhantes para encontrar
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (teta / pi + (2k + 1) / 8)) #
significado
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (teta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Desculpe, eu ignoro alguns pequenos detalhes, a resposta fornecida por sente está correta.
Supor #b ne 0 # e # a, b em RR # temos
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # então
# a / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # então
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # são as # k = 0,1, cdots, 7 # raízes ou fatores.
Definir
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
e depois
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
assim
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # com coeficientes reais.
