Como você encontra a soma da série geométrica infinita 10 (2/3) ^ n quando n = 2?

Responda:

A resposta é #40/9# ou #40/3# dependendo do que significou a pergunta.

Explicação:

Bem se #n = 2 # então não há soma, a resposta é justa:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Mas talvez a questão fosse pedir que a soma infinita fosse tomada a partir de # n = 2 # tal que a equação é:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

Nesse caso, calcularíamos isso primeiro notando que qualquer série geométrica pode ser vista como sendo da forma:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

Neste caso, nossa série tem #a = 10 # e #r = 2/3 #.

Nós também notamos que:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Então, podemos simplesmente calcular a soma de uma série geométrica # (2/3) ^ n # e depois multiplicar essa soma por #10# para chegar ao nosso resultado. Isso facilita as coisas.

Nós também temos a equação:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Isso nos permite calcular a soma da série a partir de # n = 0 #. Mas nós queremos calcular isso # n = 2 #. Para fazer isso, simplesmente subtrairemos # n = 0 # e # n = 1 # termos da soma total. Escrevendo os primeiros vários termos da soma, podemos ver que se parece com:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Nós podemos ver isso:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#