Como você usa a série binomial para expandir o sqrt (z ^ 2-1)?

Responda:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Explicação:

Eu gostaria muito de uma verificação dupla porque, como estudante de física, raramente consigo # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # para x pequeno, então estou um pouco enferrujado. A série binomial é um caso especializado do teorema binomial que afirma que

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Com # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

O que nós temos é # (z ^ 2-1) ^ (1/2) #, esta não é a forma correta. Para corrigir isso, lembre-se que # i ^ 2 = -1 # então nós temos:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Isto está agora na forma correta com #x = -z ^ 2 #

Portanto, a expansão será:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #