Como você usa a série binomial para expandir sqrt (1 + x)?

Responda:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = soma (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # com #x no CC #

Use a generalização da fórmula binomial para números complexos.

Explicação:

Há uma generalização da fórmula binomial para os números complexos.

A fórmula geral da série binomial parece ser # (1 + z) ^ r = soma ((r) _k) / (k!) Z ^ k # com # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (rk + 1) # (de acordo com a Wikipedia). Vamos aplicá-lo à sua expressão.

Esta é uma série de poder tão obviamente, se queremos ter chances de que isso não diverge, precisamos definir #absx <1 # e é assim que você expande #sqrt (1 + x) # com a série binomial.

Eu não vou demonstrar que a fórmula é verdadeira, mas não é muito difícil, você só tem que ver que a função complexa definida por # (1 + z) ^ r # é holomorfo no disco unitário, calcula cada derivada dele em 0, e isso lhe dará a fórmula de Taylor da função, o que significa que você pode desenvolvê-la como uma série de potência no disco da unidade, porque #absz <1 #daí o resultado.