Como você usa a série binomial para expandir sqrt (1 + x)?

Responda:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = soma (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # com #x no CC #

Use a generalização da fórmula binomial para números complexos.

Explicação:

Há uma generalização da fórmula binomial para os números complexos.

A fórmula geral da série binomial parece ser # (1 + z) ^ r = soma ((r) _k) / (k!) Z ^ k # com # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (rk + 1) # (de acordo com a Wikipedia). Vamos aplicá-lo à sua expressão.

Esta é uma série de poder tão obviamente, se queremos ter chances de que isso não diverge, precisamos definir #absx <1 # e é assim que você expande #sqrt (1 + x) # com a série binomial.

Eu não vou demonstrar que a fórmula é verdadeira, mas não é muito difícil, você só tem que ver que a função complexa definida por # (1 + z) ^ r # é holomorfo no disco unitário, calcula cada derivada dele em 0, e isso lhe dará a fórmula de Taylor da função, o que significa que você pode desenvolvê-la como uma série de potência no disco da unidade, porque #absz <1 #daí o resultado.

Suponha que você esteja iniciando um serviço de limpeza de escritório. Você gastou $ 315 em equipamentos. Para limpar um escritório, você usa US $ 4 em suprimentos. Você cobra US $ 25 por escritório. Quantos escritórios você deve limpar para empatar?

Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = 15 Custo do equipamento = $ 315 Custo dos suprimentos = $ 4 Custo por escritório = $ 25 Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = x Então - 25x-4x = 315 21x = 315 x = 315/21 = 15 Número de escritórios a serem limpos para cobrir o custo do equipamento = 15

Como você usa a série binomial para expandir (5 + x) ^ 4?

(5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4 A expansão da série binomial para (a + bx) ^ n, ninZZ; n> 0 é dada por: (a + bx) ^ n = sum_ (r = 0) ^ n ((n!) / (r! (n-1)!) a ^ (nr) (bx) ^ r) Então, temos: (5 + x) ^ 4 = (4!) / (0! * 4!) 5 ^ 4 + (4!) / (1! * 3!) (5) ^ 3x + (4!) / (2! * 2!) (5) ^ 2x ^ 2 + (4!) / (4! * 1!) (5) x ^ 3 + (4!) / (4! * 0!) X ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 5 ^ 4 + 4 (5) ^ 3x + 6 (5) ^ 2x ^ 2 + 4 (5) x ^ 3 + x ^ 4 (5 + x) ^ 4 = 625 + 500x + 150x ^ 2 + 20x ^ 3 + x ^ 4

Como você usa a série binomial para expandir o sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Eu gostaria muito de checar duas vezes porque como estudante de física eu raramente ir além (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx para x pequeno, então estou um pouco enferrujado. A série binomial é um caso especializado do teorema binomial que afirma que (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k Com ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) O que temos é (z ^ 2-1) ^ (1/2) , esta não é a forma correta. Para corrigir isso, lembre-se de que i ^ 2 = -1 e temos: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) está a