Responda:
# x = 9 #
Explicação:
Estamos procurando o maior número inteiro onde:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Existem algumas maneiras de fazer isso. Uma é simplesmente tentar inteiros. Como uma linha de base, vamos tentar # x = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
e assim sabemos que # x # é pelo menos 0, então não há necessidade de testar inteiros negativos.
Podemos ver que a maior potência à esquerda é 4. Vamos tentar # x = 4 # e veja o que acontece:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Eu vou adiar o resto da matemática - é claro que o lado esquerdo é maior por uma quantia considerável. Então vamos tentar # x = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
assim # x = 10 # é muito grande. Eu acho que nossa resposta será 9. Vamos checar:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
e novamente está claro que o lado esquerdo é maior que o direito. Então nossa resposta final é # x = 9 #.
Quais são as outras maneiras de encontrar isso? Nós poderíamos ter tentado representar graficamente. Se nós expressamos isso como # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, temos um gráfico que se parece com isso:
gráfico {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
e podemos ver que os picos de resposta em torno do # x = 8,5 # marca, ainda é positivo em # x = 9 # e fica negativo antes de chegar # x = 10 # - fazer # x = 9 # o maior inteiro.
De que outra forma poderíamos fazer isso? Nós poderíamos resolver # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebricamente.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Para tornar a matemática mais fácil, primeiro vou notar que, como os valores de # x # aumentar, os termos do lado esquerdo começam a se tornar irrelevantes. Primeiro o 9 diminuirá em importância até que seja completamente irrelevante, e o mesmo vale para o # 30x ^ 2 # prazo. Então isso reduz a:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
e acho que estou fazendo uma bagunça disso! A álgebra não é uma maneira fácil de abordar esse problema!
