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Ver abaixo.
Explicação:
Chamando # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + por ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
E se #p_i = (x_i, y_i, z_i) em E # então
# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # é um plano tangente a # E # porque tem um ponto em comum e #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # é normal # E #
Deixei # Pi-> alfa x + beta y + gama z = delta # ser um plano geral tangente a # E # então
# {(x_i = alpha / (um delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gama / (c delta)):} #
mas
# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # assim
# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gama ^ 2 / c = delta ^ 2 # e a equação do plano tangente genérico é
#alpha x + beta y + gama z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gama ^ 2 / c) #
Agora dados três planos ortogonais
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
e chamando #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # e fazendo
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # nós podemos escolher
#V cdot V ^ T = I_3 #
e como conseqüência
# V ^ Tcdot V = I_3 #
então nós também temos
# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (soma_i beta_i ^ 2 = 1), (soma_i gama_i ^ 2 = 1), (soma_i alfa_i beta_i = 0), (soma_i alfa_i gama_i = 0), (soma_i beta_i gama_i = 0):} #
Agora adicionando #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # temos
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (soma xy (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gama_i) + soma (beta_i gama_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #
e finalmente
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
mas #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
assim
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
que é o caminho traçado pelo ponto de intersecção de três planos tangentes perpendiculares entre si ao elipsóide.
Anexado um lote para o elipsóide
# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
