Quais são os pontos extremos e de sela de f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + y?

Não encontrei pontos de sela, mas havia um mínimo:

#f (1/3, -2 / 3) = -1 / 3 #

Para encontrar os extremos, pegue a derivada parcial em relação a # x # e # y # para ver se ambas as derivadas parciais podem ser simultaneamente iguais #0#.

# ((delf) / (delx)) _ y = 2x + y #

# ((delf) / (dely)) _ x = x + 2y + 1 #

Se eles simultaneamente devem igualar #0#, eles formam um sistema de equações:

# 2 (2x + y + 0 = 0) #

#x + 2y + 1 = 0 #

este linear sistema de equações, quando subtraído para cancelar # y #, dá:

# 3x - 1 = 0 => cor (verde) (x = 1/3) #

# => 2 (1/3) + y = 0 #

# => cor (verde) (y = -2/3) #

Como as equações eram lineares, havia apenas um ponto crítico e, portanto, apenas um extremo. A segunda derivada nos dirá se foi um máximo ou mínimo.

# ((del ^ 2f) / (delx ^ 2)) _ y = ((del ^ 2f) / (dely ^ 2)) _ x = 2 #

Estas segundas parciais estão de acordo, então o gráfico é côncavo para cima, ao longo do # x # e # y # eixos.

O valor de #f (x, y) # no ponto crítico é (conectando de volta à equação original):

#color (verde) (f (1/3, -2 / 3)) = (1/3) ^ 2 + (1/3) (- 2/3) + (-2/3) ^ 2 + (- 2/3) #

# = 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 = cor (verde) (- 1/3) #

Assim, temos um mínimo do #color (azul) (f (1/3, -2 / 3) = -1/3) #.

Agora, para o derivados cruzados para verificar se há algum ponto de sela que possa estar na direção diagonal:

# ((del ^ 2f) / (delxdely)) _ (y, x) = ((del ^ 2f) / (delydelx)) _ (x, y) = 1 #

Como estes também estão de acordo, ao invés de serem sinais opostos, existe sem ponto de sela.

Podemos ver como este gráfico parece apenas para verificar: