Qual é o ortocentro de um triângulo com cantos em (5, 9), (4, 3) e (1, 5) #?

Responda:

# (11 / 5,24 / 5) ou (2,2,4,8) #

Explicação:

Repetindo os pontos:

#A (5,9) #

#B (4,3) #

# C (1,5) #

O ortocentro de um triângulo é o ponto onde a linha das alturas relativamente a cada lado (passando pelo vértice oposto) se encontra. Então, precisamos apenas das equações de 2 linhas.

A inclinação de uma linha é # k = (delta y) / (delta x) # e a inclinação da linha perpendicular à primeira é # p = -1 / k # (quando #k! = 0 #).

# AB-> k = (3-9) / (4-5) = (- 6) / (- 1) = 6 # => # p = -1 / 6 #

# BC-> k = (5-3) / (1-4) = 2 / (- 3) = - 2/3 # => # p = 3/2 #

# CA-> k = (9-5) / (5-1) = 4/4 = 1 # => # p = -1 #

(Deve ser óbvio que se escolhermos, para uma das equações a inclinação # p = -1 # nossa tarefa seria mais fácil. Vou escolher com indiferença, vou escolher o primeiro e segundo declives)

Equação de linha (passando por # C #) em que a altura perpendicular a AB estabelece

# (y-5) = - (1/6) (x-5) # => #y = (- x + 1) / 6 + 5 # => #y = (- x + 31) / 6 #1

Equação de linha (passando por #UMA#) em que a altura perpendicular ao BC estabelece

# (y-9) = (3/2) (x-5) # => # y = (3x-15) / 2 + 9 # => # y = (3x + 3) / 2 # 2

Combinando equações 1 e 2

# {y = (- x + 31) / 6 #

# {y = (3x + 3) / 2 # => # (- x + 31) / 6 = (3x + 3) / 2 # => # -2x + 62 = 18x + 18 # => # x = 44/20 # => # x = 11/5 #

# -> y = (- 11/5 + 31) / 6 = (- 11 + 155) / 30 = 144/30 # => # y = 24/5 #

Então o ortocentro é #(11/5,24/5)#