Como resolver com integração?

Responda:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

Explicação:

Q é o intercepto x da linha # 2x + y = 15 #

Para encontrar este ponto, vamos # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

assim # Q = (15 / 2,0) #

P é um ponto de intercepção entre a curva e a linha.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# para dentro #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # ou # x = 3 #

Do gráfico, a coordenada x de P é positiva, então podemos rejeitar # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

gráfico {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Agora para a área

Para encontrar a área total desta região, podemos encontrar duas áreas e juntá-las.

Estas serão a área sob # y = x ^ 2 # de 0 a 3 e a área sob a linha de 3 a 15/2.

# "Área sob a curva" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Podemos trabalhar a área da linha através da integração, mas é mais fácil tratá-la como um triângulo.

# "Área abaixo da linha" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "área total da região sombreada" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Responda:

Para 3 e 4

Tom fez 10

Explicação:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Responda:

Ver abaixo:

Aviso: Resposta longa!

Explicação:

Para 3):

Usando a propriedade:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Conseqüentemente:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Para 4):

(mesma coisa)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

No entanto, devemos trocar os limites da integral, então:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Assim:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Para 10 (a):

Nós temos duas funções que se cruzam em # P #então # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Eu transformei a função de linha em forma de interseção de inclinação)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

assim # x = 3 # como nós à direita do # y # eixo, então #x> 0 #.

(inserindo # x = 3 # em qualquer uma das funções)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Então a coordenada de # P # é #(3,9)#

Para # Q #, a linha # y = -2x + 15 # corta o # y #-axis, então # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7,5 #

assim # Q # está localizado na #(7.5, 0)#

Para 10 (b).

Vou construir duas integrais para encontrar a área. Eu vou resolver as integrais separadamente.

A área é:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Resolva primeiro integral)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(substitua os limites na expressão integrada, lembre-se:

Limite superior-inferior para encontrar o valor de integral)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(resolver segunda integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(limites substitutos: superior-inferior)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #