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Explicação:
Um vetor que é normal (ortogonal, perpendicular) a um plano contendo dois vetores também é normal para ambos os vetores. Podemos encontrar o vetor normal tomando o produto cruzado dos dois vetores dados. Podemos, então, encontrar um vetor unitário na mesma direção daquele vetor.
Primeiro, escreva cada vetor em forma vetorial:
# veca = <2, -3,1> #
# vecb = <2,1, -3> #
O produto cruzado,
# vecaxxvecb = abs ((veci, vecj, veck), (2, -3,1), (2,1, -3)) #
Para o Eu componente, temos:
#(-3*-3)-(1*1)=9-(1)=8#
Para o j componente, temos:
#-(2*-3)-(2*1)=--6-2=8#
Para o k componente, temos:
#(2*1)-(-3*2)=2-(-6)=8#
Assim sendo,
Agora, para fazer disso um vetor unitário, dividimos o vetor por sua magnitude. A magnitude é dada por:
# | vecn | = sqrt ((n_x) ^ 2 + (n_y) ^ 2 + (n_z) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt ((8) ^ 2 + (8) ^ 2 + (8) ^ 2) #
# | vecn | = sqrt (64 + 64 + 64) = sqrt (192) = 8sqrt3 #
O vetor unitário é então dado por:
# vecu = (vecaxxvecb) / (| vecaxxvecb |) = (vecn) / (| vecn |) #
#vecu = (<8,8,8>) / (8sqrt (3)) #
# vecu = <1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3)), 1 / (sqrt (3))> #
Ao racionalizar o denominador, obtemos:
Qual é o vetor unitário que é normal ao plano contendo <1,1,1> e <2,0, -1>?
O vetor unitário é = 1 / sqrt14 〈-1,3, -2〉 Você deve fazer o produto cruzado dos dois vetores para obter um vetor perpendicular ao plano: O produto cruzado é o deteminante de ((veci, vecj, veck), (1,1,1), (2,0, -1)) v = veci (-1) -vecj (-1-2) + veck (-2) = 〈- 1,3, -2 〉 Nós verificamos fazendo os produtos de ponto. 〈-1,3, -2〉. 〈1,1,1〉 = - 1 + 3-2 = 0 〈-1,3, -2〉. 〈2,0, -1〉 = - 2 + 0 + 2 = 0 Como os produtos dos pontos são = 0, concluímos que o vetor é perpendicular ao plano. vecv = sqrt (1 + 9 + 4) = sqrt14 O vetor unitário é hatv = vecv / ( vecv ) = 1 / sqrt14 〈-1,3, -2〉
Qual é o vetor unitário que é normal ao plano contendo 3i + 7j-2k e 8i + 2j + 9k?
O vetor unitário normal ao plano é (1 / 94.01) (67hati-43hatj + 50hatk). Vamos considerar vecA = 3hati + 7hatj-2hatk, vecB = 8hati + 2hatj + 9hatk O normal para o plano vecA, vecB é nada mais que o vetor perpendicular, ou seja, produto cruzado de vecA, vecB. => vecAxxvecB = hati (63 + 4) -hatj (27 + 16) + hatk (6-56) = 67hati-43hatj + 50k. O vetor unitário normal ao plano é + - [vecAxxvecB // (| vecAxxvecB |)] Então | vecAxxvecB | = sqrt [(67) ^ 2 + (- 43) ^ 2 + (50) ^ 2] = sqrt8838 = 94.01 ~~ 94 Agora, substitua toda a equação acima, obtemos vetor unitário = + - {[1 / (sqrt8
Qual é o vetor unitário que é normal ao plano contendo (i + 2j + 2k) e # (2i + j - 3k)?
{-4 sqrt [2/61], 7 / sqrt [122], -3 / (sqrt [122])} Dados dois vetores não alinhados vec u vec v o produto vetorial dado por vec w = vec v vezes vec v é ortogonal a vecu e vec v Seu produto cruzado é calculado pela regra determinante, expandindo os subdeterminantes encabeçados por vec i, vec j, vec k vec w = vec v vezes vec = det ((vec i, vec j, vec k), (u_x, u_y, u_z), (v_x, v_y, v_z)) vec v vezes v v = (u v v v v v v) v v i i (v v v v v v v v v v) v v ) vec k assim vec w = det (vec i, vec j, vec k), (1,2,2), (2,1, -3)) = -8 vec i + 7 vecj-3vec k o vetor unitário é vec w / norm (vec w) = {-4