Quais são alguns exemplos de séries convergentes?

Responda:

Aqui estão três exemplos significativos …

Explicação:

Séries geométricas

E se #abs (r) <1 # então a soma das séries geométricas #a_n = r ^ n a_0 # é convergente:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Função exponencial

A série que define # e ^ x # é convergente para qualquer valor de # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Para provar isso, para qualquer # x #, deixei # N # ser um número inteiro maior que #abs (x) #. Então #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # converge, uma vez que é uma soma finita e #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # converge, pois o valor absoluto da razão de termos sucessivos é menor que #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Problema de Basileia

O problema de Basileia, proposto em 1644 e resolvido por Euler em 1734, pediu o valor da soma de recíprocos de quadrados de inteiros positivos:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #