A questão está abaixo?

Dado

# cosAcosB + sinAsinBsinC = 1 #

# => cosAcosB + sinAsinB-sinAsinB + sinAsinBsinC = 1 #

# => cos (A-B) -sinAsinB (1-sinC) = 1 #

# => 1-cos (A-B) + sinAsinB (1-sinC) = 0 #

# => 2sin ^ 2 ((A-B) / 2) + sinAsinB (1-sinC) = 0 #

Agora na relação acima o primeiro termo que está sendo quadrado a quantidade será positivo. No segundo termo A, B e C todos são menos do que

#180^@# mas maior que zero.

Portanto, sinA, sinB e sinC são todos positivos e inferiores a 1. Assim, o segundo termo como um todo é positivo.

Mas RHS = 0.

Só é possível se cada termo se tornar zero.

Quando # 2sin ^ 2 ((A-B) / 2) = 0 #

então# A = B #

e quando 2º termo = 0 então

#sinAsinB (1-sinC) = 0 #

0 <A e B <180

# => sinA! = 0e sinB! = 0 #

assim # 1-sinC = 0 => C = pi / 2 #

Então, no triângulo ABC

# A = B e C = pi / 2 -> "o triângulo está em ângulo e isósceles" #

Lado # a = ângulo da bandaC = 90 ^ @ #

assim# c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (a ^ 2 + a ^ 2) = sqrt2a #

Conseqüentemente #a: b: c = a: 2a: sqrt 2a = 1: 1: sqrt2 #