U_1, u_2, u_3, ... estão em Progressão geométrica (GP) .A razão comum dos termos na série é K.Agora determine a soma da série u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) na forma de K e u_1?

Responda:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Explicação:

O termo geral de uma progressão geométrica pode ser escrito:

#a_k = a r ^ (k-1) #

Onde #uma# é o termo inicial e # r # a relação comum.

A soma para # n # termos é dado pela fórmula:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#cor branca)()#

Com as informações dadas na pergunta, a fórmula geral para #Reino Unido# pode ser escrito:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Observe que:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

Assim:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (branco) (soma_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = soma_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (branco) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # Onde # a = u_1 ^ 2K # e #r = K ^ 2 #

#color (branco) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (branco) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #