Quais são as assíntotas e os orifícios, se houver, de f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Responda:

#f (x) # tem uma assíntota vertical em # x = -1 #, um buraco no # x = 1 # e uma assíntota horizontal # y = 0 #. Não tem assíntotas oblíquas.

Explicação:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

#color (branco) (f (x)) = cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) ((x-1)))) / (cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) ((x-1))))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (branco) (f (x)) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

com exclusão #x! = - 1 #

Observe que # x ^ 2 + 1> 0 # para quaisquer valores reais de # x #

Quando # x = -1 # o denominador é zero e o numerador é diferente de zero. assim #f (x) # tem uma assíntota vertical em # x = -1 #

Quando # x = 1 # tanto o numerador e denominador da expressão de definição para #f (x) # são zero, mas a expressão simplificada é bem definida e contínua em # x = 1 #. Então há um buraco no # x = 1 #.

Como #x -> + - oo # o denominador da expressão simplificada # -> oo #, enquanto o numerador é constante #1#. Portanto, a função tende a #0# e tem uma assíntota horizontal # y = 0 #

#f (x) # não tem assíntotas oblíquas (a.k.a. slant). Para que uma função racional tenha uma assíntota oblíqua, o numerador deve ter um grau exatamente maior que o denominador.

gráfico {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}